Qual é o coeficiente de \(x^7\) na expansão de \((x + 2)^{10}\)? Calcular diretamente — multiplicando dez fatores e rastreando cada termo — exige dezenas de operações. O Binômio de Newton reduz isso a uma linha, e os coeficientes que aparecem são exatamente os \(\binom{n}{r}\) do Triângulo de Pascal que vimos no artigo anterior.
Por que o Binômio de Newton? #
O Teorema Binomial é muito mais do que uma fórmula de expansão algébrica. Ele reaparece em contextos centrais da computação e da matemática:
- Probabilidade: a distribuição binomial — modelo de \(n\) experimentos independentes com probabilidade \(p\) de sucesso — escreve \((p + q)^n\) como soma de termos \(\binom{n}{k} p^k q^{n-k}\), onde cada termo é a probabilidade de exatamente \(k\) sucessos.
- Aproximações numéricas: para \(|x| \ll 1\), a expansão \((1+x)^n \approx 1 + nx + \binom{n}{2}x^2 + \cdots\) fundamenta métodos numéricos e séries de Taylor em cálculo.
- Álgebra computacional: sistemas como SymPy e Mathematica implementam
expand((a+b)**n)aplicando o Teorema Binomial internamente —expandjá apareceu no site na seção de criação de polinômios com SymPy. Conhecer a fórmula permite prever e depurar resultados simbólicos. - Identidades combinatórias: substituir valores específicos de \(a\) e \(b\) gera identidades sobre coeficientes binomiais, incluindo o Teorema das Linhas (\(\sum \binom{n}{k} = 2^n\)) que demonstramos no artigo anterior.
- Kernels polinomiais em aprendizado de máquina: o número de termos em \((x_1 + x_2 + \cdots + x_d)^n\) está diretamente ligado a combinações com repetição — o Binômio é o caso \(d = 2\).
O mapa do Teorema #
O diagrama abaixo mostra como os conceitos deste artigo se encadeiam: o Teorema Binomial gera o Termo Geral, que permite extrair coeficientes específicos, e casos particulares produzem identidades sobre linhas do Triângulo de Pascal.
flowchart TD
TH["Teorema Binomial
(a+b)ⁿ = Σ C(n,r) aⁿ⁻ʳ bʳ"] --> TG["Termo Geral
T_{r+1} = C(n,r) aⁿ⁻ʳ bʳ"]
TH --> SUB["Casos particulares
por substituição"]
TG --> COEF["Extrair coeficiente
de xᵏ: resolver n−r=k"]
SUB --> I1["a=b=1
∑ C(n,k) = 2ⁿ"]
SUB --> I2["a=1, b=−1
∑ (−1)ʳ C(n,r) = 0"]
I1 --> PAL["Retoma Teorema
das Linhas (post anterior)"]
Teorema Binomial #
Antes de enunciar o teorema, observe as expansões para pequenos \(n\): os coeficientes de cada linha são exatamente os valores da linha correspondente do Triângulo de Pascal.
| \(n\) | Expansão |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(a + b\) |
| 2 | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| 3 | \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) |
| 4 | \(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\) |
Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\) e \(n \in \mathbb{N}\):
$$(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$$Prova por Indução Matemática #
A indução matemática — técnica de prova que trata separadamente o caso base e o passo indutivo — é a ferramenta natural aqui, pois o Teorema Binomial afirma algo para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Base (\(n=0\)): \((a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0} a^0 b^0\). ✓
Hipótese de Indução (HI): suponha que, para algum \(k \in \mathbb{N}\), vale \((a+b)^k = \sum_{r=0}^{k}\binom{k}{r}a^{k-r}b^r\).
Passo (\(n = k+1\)): multiplicando ambos os lados da HI por \((a+b)\):
$$ (a+b)^{k+1} = (a+b)\sum_{r=0}^{k}\binom{k}{r}a^{k-r}b^r = \sum_{r=0}^{k}\binom{k}{r}a^{k+1-r}b^r + \sum_{r=0}^{k}\binom{k}{r}a^{k-r}b^{r+1} $$Reindexando o segundo somatório com \(r \to r-1\):
$$= \sum_{r=0}^{k}\binom{k}{r}a^{k+1-r}b^r + \sum_{r=1}^{k+1}\binom{k}{r-1}a^{k+1-r}b^r$$Os termos extremos (\(r=0\) e \(r=k+1\)) contribuem com \(a^{k+1}\) e \(b^{k+1}\); para os intermediários, a Relação de Pascal fornece \(\binom{k}{r-1} + \binom{k}{r} = \binom{k+1}{r}\):
$$= \sum_{r=0}^{k+1}\binom{k+1}{r}a^{k+1-r}b^r$$Portanto, \((a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), que é o que queríamos demonstrar. \(\blacksquare\)
Termo Geral #
A expansão de \((a+b)^n\) tem \(n+1\) termos. Para identificar um termo específico sem expandir tudo, usa-se a fórmula do termo geral:
O \((r+1)\)-ésimo termo da expansão de \((a+b)^n\) é:
$$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r, \qquad r = 0, 1, \ldots, n$$Identidades por Casos Particulares #
Substituindo valores específicos de \(a\) e \(b\) no Teorema Binomial obtemos identidades sobre coeficientes binomiais.
Esse resultado coincide com o Teorema das Linhas do artigo anterior — o Binômio de Newton fornece a sua prova mais direta.
Corolário: somando índices pares e ímpares separadamente e usando a Identidade 1:
$$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \cdots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \cdots = 2^{n-1}$$Exemplos Resolvidos #
O diagrama abaixo sintetiza o roteiro de aplicação do Termo Geral: o procedimento diverge conforme o objetivo seja expandir completamente o binômio ou isolar o coeficiente de um termo específico.
flowchart TD
A["Escreva (a+b)ⁿ:
identifique a, b e n"] --> B["Termo geral:
T_{r+1} = C(n,r) aⁿ⁻ʳ bʳ"]
B --> C{"Qual é o objetivo?"}
C -->|"Expansão completa"| D["Calcule r = 0, 1, …, n
e some os n+1 termos"]
C -->|"Coeficiente de aᵏbʲ"| E["Resolva n − r = k
(ou r = j)"]
E --> F{"r ∈ {0, …, n}?"}
F -->|"Sim"| G["Calcule T_{r+1} = C(n,r) aⁿ⁻ʳ bʳ"]
F -->|"Não"| H["Coeficiente = 0
(termo não existe)"]
Expansão completa de \((x+3)^4\) #
Enunciado: Expanda \((x+3)^4\) usando o Teorema Binomial.
Solução: O termo geral é \(T_{r+1} = \binom{4}{r} x^{4-r} 3^r\). Calculando cada termo:
| \(r\) | \(\binom{4}{r}\) | \(x^{4-r}\) | \(3^r\) | Termo |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(x^4\) | 1 | \(x^4\) |
| 1 | 4 | \(x^3\) | 3 | \(12x^3\) |
| 2 | 6 | \(x^2\) | 9 | \(54x^2\) |
| 3 | 4 | \(x\) | 27 | \(108x\) |
| 4 | 1 | 1 | 81 | \(81\) |
Coeficiente de \(x^2\) em \(\left(x^3 - \dfrac{1}{x^2}\right)^9\) #
Enunciado: Determine o coeficiente de \(x^2\) na expansão de \(\left(x^3 - \dfrac{1}{x^2}\right)^9\).
Solução: O termo geral é:
$$T_{r+1} = \binom{9}{r}(x^3)^{9-r}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^r = \binom{9}{r}(-1)^r x^{27-3r-2r} = \binom{9}{r}(-1)^r x^{27-5r}$$Para que o termo contenha \(x^2\), é preciso \(27 - 5r = 2\), ou seja, \(r = 5\):
$$T_6 = \binom{9}{5}(-1)^5 x^2 = 126 \cdot (-1) \cdot x^2 = -126x^2$$O coeficiente de \(x^2\) é \(\mathbf{-126}\).
Python: extraindo coeficientes com math.comb
math.comb
A fórmula do termo geral se traduz diretamente em código. Para recuperar o coeficiente de \(x^7\) em \((x + 2)^{10}\) — a pergunta da abertura — basta resolver \(10 - r = 7 \Rightarrow r = 3\) e calcular:
from math import comb
def coef_binomio(b, n, exp_a):
"""Coeficiente de a^exp_a na expansão de (a + b)^n."""
r = n - exp_a # expoente de b no termo
return comb(n, r) * (b ** r)
# Coeficiente de x^7 em (x + 2)^10
print(coef_binomio(b=2, n=10, exp_a=7)) # 960
# Verificação: soma da linha 10 deve ser 2^10 = 1024
print(sum(coef_binomio(1, 10, k) for k in range(11))) # 1024O segundo bloco verifica a Identidade 1: substituindo \(a = b = 1\), a soma de todos os coeficientes de \((1+1)^{10}\) deve dar \(2^{10} = 1{.}024\).
Tabela-Resumo #
A tabela abaixo reúne todos os resultados provados neste artigo para consulta rápida.
| Resultado | Fórmula |
|---|---|
| Teorema Binomial | \(\displaystyle(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\) |
| Termo Geral | \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\) |
| Identidade 1 (\(a=b=1\)) | \(\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{n}{r} = 2^n\) |
| Identidade 2 (\(a=1, b=-1\)) | \(\displaystyle\sum_{r=0}^n (-1)^r\binom{n}{r} = 0\) |
| Corolário (paridades) | \(\displaystyle\sum_{r \text{ par}} \binom{n}{r} = \sum_{r \text{ ímpar}} \binom{n}{r} = 2^{n-1}\) |
Exercícios #
Os exercícios a seguir aplicam o Teorema Binomial a expansões, extração de termos específicos e provas de identidades. Estão ordenados do mais simples ao mais complexo.
Exercício 1 — Expansões
Desenvolva: (a) \((2a - 3b)^3\) (b) \((2y + 3x)^4\) (c) \(\left(\dfrac{1}{y} - y\right)^6\)
(a) \(T_{r+1} = \binom{3}{r}(2a)^{3-r}(-3b)^r\):
$$8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$$(b) \(T_{r+1} = \binom{4}{r}(2y)^{4-r}(3x)^r\):
$$16y^4 + 96y^3x + 216y^2x^2 + 216yx^3 + 81x^4$$(c) \(T_{r+1} = \binom{6}{r}(y^{-1})^{6-r}(-y)^r = \binom{6}{r}(-1)^r y^{2r-6}\):
$$y^{-6} - 6y^{-4} + 15y^{-2} - 20 + 15y^2 - 6y^4 + y^6$$
Exercício 2 — Sexto termo
Calcule o 6º termo de: (a) \(\left(1 - \dfrac{1}{b}\right)^7\) (b) \(\left(3x^2y - \dfrac{1}{3}\right)^9\)
O 6º termo usa \(r = 5\):
(a) \(T_6 = \binom{7}{5}(1)^2\left(-\dfrac{1}{b}\right)^5 = -\dfrac{21}{b^5}\)
(b) \(T_6 = \binom{9}{5}(3x^2y)^4\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5 = 126 \cdot 81x^8y^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{243}\right) = \mathbf{-42x^8y^4}\)
Exercício 3 — Soma dos coeficientes
Calcule a soma dos coeficientes de todos os termos de \(\left(x^3 - \dfrac{1}{2x}\right)^{12}\).
A soma dos coeficientes é o valor da expressão em \(x = 1\):
$$\left(1 - \frac{1}{2}\right)^{12} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \mathbf{\frac{1}{4{.}096}}$$
Exercício 4 — Termos independentes de \(x\)
Encontre o termo independente de \(x\) em: (a) \(\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^6\) (b) \(\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^9\)
(a) \(T_{r+1} = \binom{6}{r}x^{12-4r}\). Independente: \(12 - 4r = 0 \Rightarrow r = 3\). Termo: \(\binom{6}{3} = \mathbf{20}\)
(b) \(T_{r+1} = \binom{9}{r}x^{18-3r}\). Independente: \(18 - 3r = 0 \Rightarrow r = 6\). Termo: \(\binom{9}{6} = \mathbf{84}\)
Exercício 5 — Por que \((x + x^{-1})^{2n+1}\) não tem termo independente?
\(T_{r+1} = \binom{2n+1}{r} x^{2n+1-2r}\). Para ser independente de \(x\), precisaríamos \(2n+1-2r = 0 \Rightarrow 2r = 2n+1\). Isso é impossível: o lado esquerdo é par e o lado direito é ímpar. \(\blacksquare\)
Exercício 6 — Prova: \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n > 2\) para \(n \geq 2\)
Pelo Teorema Binomial com \(a = 1\) e \(b = \frac{1}{n}\):
$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k}$$Os termos \(k=0\) e \(k=1\) já somam \(1 + 1 = 2\). Para \(n \geq 2\), existem termos adicionais estritamente positivos. Logo \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n > 2\). \(\blacksquare\)
Próximos passos #
Com o Binômio de Newton encerramos a série “A Arte de Contar”. Partimos dos Princípios Aditivo e Multiplicativo, construímos permutações, arranjos e combinações — com e sem repetição —, estudamos os coeficientes binomiais e o Triângulo de Pascal, e chegamos ao Teorema que une álgebra e combinatória. O mapa de todos os conteúdos de Matemática Discreta do site está em “Matemática Discreta: Apresentação e Roadmap”.
A combinatória resolve perguntas do tipo “quantos?”, mas muitos problemas em computação pedem também “como estão conectados?”. Para responder isso entra a teoria dos grafos — a matemática das redes, dos caminhos e das conexões. O próximo artigo, A Matemática das Conexões: Teoria dos Grafos do Zero, apresenta grafos do zero: das Pontes de Königsberg aos algoritmos modernos de busca.
Resumo da Série #
A tabela a seguir reúne todas as técnicas de contagem da série, com a fórmula e a situação de uso de cada uma.
| Técnica | Fórmula | Quando usar |
|---|---|---|
| Princípio Aditivo | \(|A| + |B|\) | Escolhas exclusivas (“ou”) |
| Princípio Multiplicativo | \(|A| \cdot |B|\) | Etapas independentes (“e”) |
| Permutação simples | \(n!\) | Ordenar todos |
| Permutação circular | \((n-1)!\) | Ordenar em círculo |
| Permutação c/ repetição | \(\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}\) | Ordenar com iguais |
| Arranjo simples | \(\dfrac{n!}{(n-r)!}\) | Ordenar \(r\) de \(n\) |
| Arranjo c/ repetição | \(n^r\) | Sequência com repetição |
| Combinação simples | \(\dbinom{n}{r}\) | Selecionar \(r\) de \(n\) |
| Combinação c/ repetição | \(\dbinom{n+r-1}{r}\) | Selecionar com repetição |
| Binômio de Newton | \(\displaystyle\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{n-r}b^r\) | Expandir \((a+b)^n\) |
