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Em arranjos com repetição, cada posição pode receber qualquer dos n elementos — inclusive o mesmo mais de uma vez. A fórmula é n^r. Ela aparece em senhas, sequências binárias e na contagem de números representáveis em ponto flutuante.

Como contar anagramas quando a palavra tem letras repetidas? A fórmula de permutações com repetição divide n! pelas repetições internas. Aprenda com exemplos de anagramas, sequências binárias e caminhos em grades.

Combinação simples C(n,r) conta seleções sem levar em conta a ordem. Aprenda a fórmula, suas propriedades (simetria, linha do triângulo de Pascal) e como dividir conjuntos em grupos.

Um arranjo simples conta seleções ordenadas de r elementos entre n. A fórmula A(n,r) = n!/(n-r)! aparece em problemas de pódios, rotas, senhas sem repetição e qualquer situação em que a ordem importa mas não usamos todos os elementos.

Permutação é a ordenação de todos os elementos de um conjunto. Aprenda as permutações simples (n!) e circulares ((n-1)!), com restrições de adjacência e exemplos completos de anagramas, mesas redondas e cirandas.

O Princípio Aditivo (PA) e o Princípio Multiplicativo (PM) são os alicerces de toda a combinatória. Aprenda a reconhecer qual aplicar em cada situação — com exemplos de senhas, bandeiras, provas e números com restrições.

Apresentação da série ‘A Arte de Contar’: dos Princípios Aditivo e Multiplicativo ao Binômio de Newton, passando por permutações, arranjos e combinações — com e sem repetição. O roteiro completo para dominar a combinatória.

Uma relação de recorrência define cada termo de uma sequência em função dos termos anteriores. Aprenda a montar e resolver recorrências com o método de substituição — da Torre de Hanoi à sequência de Fibonacci.

A Indução Forte estende o PIM clássico: em vez de assumir apenas P(k), assumimos que todos os casos P(1) até P(k) são verdadeiros. Aprenda quando e como usar essa técnica — com Fibonacci, fatoração em primos e a fórmula de Binet.

O Princípio de Indução Matemática é a ferramenta central para provar afirmações sobre números naturais. Aprenda a estrutura do método e veja como aplicá-lo em somas, produtos e divisibilidade — com provas completas.

Como provar afirmações sobre infinitos casos de uma só vez? A indução matemática responde essa pergunta. Esta série de três artigos cobre o PIM clássico, a indução forte e as relações de recorrência — com exemplos de Fibonacci à Torre de Hanoi.

Como a teoria dos conjuntos se traduz diretamente em Python: o tipo set, frozenset, compreensão de conjuntos, operadores de pertinência e inclusão, operações, performance O(1) e aplicações práticas.

A cardinalidade mede o tamanho de um conjunto. Quando dois conjuntos se sobrepõem, o Princípio da Inclusão-Exclusão mostra como contar sem duplicar — e essa fórmula se generaliza para qualquer número de conjuntos.

Aprenda a representar conjuntos visualmente com diagramas de Venn e a operar sobre eles: união, interseção, diferença e complemento. Veja também as identidades fundamentais, incluindo as Leis de De Morgan.

O conceito de conjunto é o ponto de partida de toda a matemática discreta: uma coleção bem definida de objetos onde sempre sabemos se um elemento pertence ou não. Entenda notação, relações de inclusão e o conjunto das partes.

A matemática discreta é a base da ciência da computação moderna. Este artigo apresenta o roadmap das próximas séries do site: conjuntos, combinatória, indução e recorrência, e grafos — cada uma com exemplos práticos.

Como passar de uma tabela verdade para a expressão booleana mais enxuta possível? Este artigo mostra os três caminhos: formas canônicas (mintermos e maxtermos), simplificação algébrica pelos teoremas de Boole e o elegante mapa de Karnaugh, com exercícios resolvidos passo a passo.

A Álgebra Booleana é o alicerce matemático de toda a eletrônica digital e da computação. Entenda as operações lógicas fundamentais (AND, OR, NOT), as funções derivadas (NAND, NOR, XOR), os postulados, teoremas, leis de De Morgan, simplificação de expressões — e veja como tudo isso se conecta ao Python.

RISC simplificou o conjunto de instruções para maximizar o pipeline; a taxonomia de Flynn continua útil para classificar arquiteturas paralelas; e SMP, clusters, NUMA e processadores multicore mostram os caminhos modernos para o paralelismo.

Polling, interrupções e DMA são as três estratégias para gerenciar a comunicação entre CPU e dispositivos externos — cada uma com trade-offs de eficiência, overhead e complexidade.

Os módulos tokenize, ast, compile e dis do Python permitem observar várias etapas importantes do pipeline de compilação do CPython diretamente no interpretador — tornando a teoria muito mais concreta.

Como um programa escrito em linguagem de alto nível atravessa as fases de análise léxica, sintática e semântica, geração de código intermediário, otimização, ligação e carregamento até se tornar instruções executáveis.

A ISA é o contrato entre hardware e software; os formatos de instrução determinam quantos operandos cada instrução carrega; e os modos de endereçamento definem onde o processador encontra cada operando.

Como o computador representa caracteres (ASCII, Unicode, UTF-8), inteiros sem sinal e com sinal (complemento a dois), deslocamentos aritméticos e o padrão IEEE 754 para ponto flutuante — tudo como padrões de bits.

Pipeline executa múltiplas instruções simultaneamente dividindo o processamento em estágios; barramentos interligam CPU, memória e periféricos com protocolos síncronos e assíncronos; e a unidade de controle pode ser cabeada ou microprogramada.

Um processador de 12 bits com 11 instruções serve de modelo para entender o ciclo de instrução completo, a execução passo a passo de LDA e ADD, e como a linguagem de montagem traduz operações para código de máquina.

Descubra como a Unidade Central de Processamento é organizada, quais componentes a compõem, o que é um ciclo de instrução e como a CPU busca e executa uma instrução passo a passo em notação formal.

Entenda por que a cache existe, como ela é organizada nos três tipos de mapeamento (direto, associativo e por conjuntos), quais algoritmos decidem o que substituir e como as políticas de escrita mantêm a consistência com a memória principal.

Entenda como a memória de um computador é organizada em hierarquia, como células, endereços e barramentos funcionam, e domine as fórmulas fundamentais de dimensionamento com exemplos resolvidos.

Uma série completa sobre arquitetura e organização de computadores: do subsistema de memória ao pipeline, das representações binárias à execução de programas. Descubra o que acontece em nanossegundos quando você executa um software.

Descubra como o padrão IEEE 754 permite ao computador armazenar números astronômicos e microscópicos nos mesmos 32 bits, e entenda a matemática por trás dos erros de precisão como 0.1 + 0.2 != 0.3.

Expanda seus conhecimentos sobre bases numéricas para o universo dos números fracionários. Aprenda os algoritmos de conversão por multiplicações sucessivas, entenda a origem dos erros de precisão em ponto flutuante (como 0.1 + 0.2 ≠ 0.3) e veja estratégias práticas para lidar com isso em Python.

Na computação, manipular bits individualmente é essencial para eficiência e controle. Este artigo explora os operadores bitwise (AND, OR, XOR, NOT) e como usá-los em Python para criar máscaras de bits, permitindo operações precisas em dados binários.

Computadores, na verdade, não sabem subtrair. Descubra a genialidade do sistema de Complemento de Dois, que transforma números negativos em adições. Entenda os limites da representação binária, por que o Overflow acontece e como identificar números negativos em Hexadecimal e Python.

Você não precisa reaprender matemática para calcular em binário. Descubra como a lógica da soma e subtração decimal se aplica a qualquer base. O artigo detalha os algoritmos formais de ‘vai-um’ e ‘compensação’, e ensina como implementá-los do zero em Python.

Entenda como computadores representam dados e aprenda a converter entre decimal, binário e hexadecimal. Domine a notação posicional, as divisões sucessivas e os atalhos de agrupamento de bits.

Tanto o NumPy quanto o Pandas usam o conceito de eixo (axis), mas com diferenças sutis. No NumPy, ele refere-se à dimensão em que uma operação é realizada, enquanto no Pandas, indica a direção de uma operação. Este artigo apresenta exemplos do uso do axis em cada biblioteca.

Aprendemos em matemática que há regras para somar ou multiplicar matrizes. Mas, em problemas matemáticos computacionais, por vezes temos matrizes ou vetores que gostaríamos de somar ou multiplicar que não cumprem as exigências. Veremos neste artigo como o conceito de broadcasting do NumPy é útil nestes contextos e como ele se relaciona com quantização vetorial.

Caso esteja se aventurando em ciência de dados, muito provavelmente já viu um reshape em algum código. Talvez com um misterioso valor de -1 em uma das posições como reshape(-1, 1). Mas, afinal, o que significa isto? Por que por vezes precisamos transformar nossos dados para utilizar métodos de modelos no Scikit-Learn? É o que veremos neste artigo.

Métodos de Monte Carlo são algoritmos computacionais que se baseiam em amostras aleatórias para obter resultados numéricos. Neste artigo, veremos como podemos obter o valor de pi com esses métodos.

O número π é uma constante matemática que é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Neste artigo, passaremos pela história do número π e aprenderemos um pouco de programação Python no caminho.

Um bom tempo do estudo de cálculo é destinado às chamadas séries infinitas. Mas, afinal, o que são séries infinitas? E qual sua relação com o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos chamados paradoxos de Zenão de Eleia, filósofo grego? Qual a relação com quântica e o princípio da incerteza? E onde entra Python nisto tudo? É o que descobriremos neste artigo.

As equações de balanço de massa são importantes para praticamente todos os cálculos na resolução de problemas de engenharia química. Nesse artigo, vamos resolver duas questões de balanço de massa utilizando a biblioteca SymPy e revisar alguns princípios importantes.

Já escrevemos aqui no site sobre os conceitos de limite e derivada e como podemos fazer contas relacionadas com Python. Seguindo na nossa jornada de cálculo, neste artigo veremos como trabalhar com integrais com o SymPy e o SciPy, pacotes da linguagem Python. No caminho, teremos algumas noções de métodos numéricos.

Sabia que a função max do Python possui muitas opções e formas de uso que pouca gente conhece?Neste post veremos diferentes formas de utilizar a função max em Python.

Recentemente vi um excelente vídeo sobre boas práticas de programação. Mas pode ser ampliado para boas práticas de uma forma geral, para qualquer carreira. E, no fundo, é um vídeo sobre comunicação, como vou mostrar neste artigo.

Engenheiros e cientistas sempre buscam extrair o máximo de desempenho de seus equipamentos e projetos com o mínimo de custo. Essa busca dá origem aos chamados problemas de otimização. Neste artigo, veremos como podemos utilizar a linguagem Python, com auxílio do pacote SymPy, na resolução de tais problemas.

O Linux Mint é uma distribuição Linux amigável e fácil de usar. Neste vídeo, vamos fazer uma série de personalizações que o tornam ainda mais amigável e produtivo.

Passamos parte considerável do tempo lidando com strings, então é importante sabermos como apresentá-las da forma desejada. É o que veremos neste artigo com diversos exemplos.

O início dos cursos de cálculo costuma ser abstrato pelo conceito de limite. Mas, logo passa a ser mais palpável com a introdução do conceito de derivada, que possui diversas aplicações práticas evidentes. Neste artigo, veremos como trabalhar com derivadas com o SymPy, pacote da linguagem Python.

O conceito de limite é o mais importante dentro do estudo de cálculo. Diversos outros conceitos e ideias se baseiam na definição de limite. Neste artigo, veremos como podemos achar o limite de funções usando o SymPy e como este pacote pode ser um auxílio didático no estudo de cálculo.

Números complexos são fascinantes e há muitas aplicações práticas. Neste artigo, veremos como a linguagem Python lida com números complexos nativamente e como o pacote SymPy amplia o poder da linguagem.

O Linux Mint é uma distribuição baseada no Ubuntu e possui como ambiente gráfico principal o Cinnamon. Possui um visual mais adaptativo para quem está migrando do Windows e atende bem as necessidades de todos os públicos.

Nesse artigo, vamos explorar 3 bibliotecas químicas disponíveis para a linguagem Python, mostrando como elas são úteis na rotina de profissionais e estudantes de química.

O que ondas do mar, bolhas de sabão e DNA têm em comum? É o que mostro neste artigo, com a ajuda do Python. Veremos a relação de tais assuntos com funções trigonométricas.

Em programação, a palavra “lógica” pode se referir ou ao processo de elaboração de um algoritmo, ou a estruturas condicionais da linguagem, ou a operadores lógicos como E e OU. Nos dois últimos casos, estamos dentro da chamada lógica matemática.

Neste artigo, veremos como a biblioteca SymPy, para a linguagem Python, nos ajuda a lidar com operações envolvendo polinômios.

Será que é possível estudar para o vestibular e ainda aprender Python? Sim, claro! Neste artigo, analisaremos uma questão da prova de 2020. É uma questão de química, mas que pode ser resolvida mais com raciocínio do que com química em si.

Neste artigo veremos como fazer gráficos com SymPy e Matplotlib. Usualmente quando se fala de SymPy focamos na parte relacionada à resolução de problemas de cálculos matemáticos. Mas muitos esquecem que a biblioteca possui alguns recursos básicos para construção de gráficos, que veremos neste artigo.

Neste artigo veremos como trabalhar com expressões racionais, exponenciais e logaritmos com a biblioteca SymPy do Python

Grande parte do estudo de matemática em níveis mais fundamentais é dedicada a resoluções de equações e sistemas de equações. Neste artigo veremos como utilizar o SymPy para essas tarefas de forma rápida e intuitiva.

Neste artigo veremos uma introdução ao SymPy, um dos pacotes matemáticos mais poderosos para a linguagem Python

O Git pode ser uma ferramenta um pouco assustadora para iniciantes devido ao grande número de comandos e possibilidades. Neste artigo, desmistificaremos os principais aspectos do Git de forma a possibilitar colaborar em qualquer projeto. O famoso fluxo de forks e pull requests, popularizado pelo GitHub, será abordado.

Você já viu o termo “yield from” em algum código Python e ficou imaginando o que era? Nesse artigo vamos nos aprofundar ainda mais em geradores e entender, com exemplos, o que significa o “yield from” e como podemos utilizá-lo para deixar nossos códigos ainda mais eficientes.

Você sabia que é possível criar uma sequência infinita sem ter problemas de memória e ainda consumir essa sequência da forma que você quiser? Hoje veremos um método específico do módulo itertools, o islice, que é excelente para nosso propósito. Aprenderemos a utilizá-lo com o exemplo da série de Fibonacci.

Neste artigo, vamos ver como funcionam as funções all e any, presentes numa instalação padrão da linguagem Python. E, mais, vamos ver a utilidade de cada uma dessas funções e cuidados ao utilizá-las com base em uma análise de complexidade.

Você sabe a diferença entre uma função “normal” e uma função geradora em Python? Qual a diferença entre o return de uma função usual e o yield de um gerador? Nesse artigo responderemos essas perguntas e ainda nos aprofundaremos em alguns aspectos da linguagem. Veremos como geradores em Python podem tornar seu código até 1000 vezes mais rápidos.

Você sabe o que é um iterável? E um iterador? Como reconhecer essas estruturas em Python? Responder tais questionamentos é o objetivo desse artigo.

Os operadores and e or são operadores em curto-circuito, ou seja, o segundo operando só é avaliado se o resultado não puder ser determinado com base apenas no valor do primeiro operando. Confuso? Vamos ver alguns exemplos neste artigo.

As Olimpíadas estão acabando… e, além de saudades e histórias de superação, cada Olimpíada deixa uma enorme quantidade de dados! Nesse artigo, vamos ver como podemos usar o Pandas para analisar parte desses dados, verificando a evolução do tempo dos atletas em provas de atletismo.

Será que é possível estudar para o vestibular e ainda aprender Python? Sim, claro! E é esse um dos objetivos da série ENEM Tecnológico aqui do site. Nessa série, utilizaremos ferramentas computacionais para analisar e expandir questões do ENEM. No artigo de hoje, analisaremos uma questão da prova de 2019. E, de quebra, aprenderemos a fazer gráficos 3D e 4D(?!) com Matplotlib. Tudo devido a um tijolo assassino.

Veremos o básico de Markdown para criar um bom README no GitHub, com exemplos práticos e dicas de como deixar seu projeto mais atrativo.

Incolor, de constituintes invisíveis e inodoro (espera-se!). Por vezes nos esquecemos que estamos rodeados de gases que constituem nossa atmosfera. Nesse artigo, vamos ver como podemos facilmente, com a linguagem Python, conseguir uma listagem dos principais constituintes do ar com web scrapping. E, também, fazer algumas contas como, por exemplo, de densidade e de massa molar média e, claro, apresentar tudo em gráficos espetaculares.

Veremos como gerenciar issues e pull requests no GitHub, tanto pela interface do site quanto pelo terminal de seu repositório local.

Vamos criar uma interface de linha de comando (CLI) bem simples em Python e, no processo, mostro como usar branches no Git.

Vamos ver como estruturar um pequeno projeto Python com auxílio de um exercício bem simples. Vou mostrar os passos para configurar qualquer editor ou IDE que você use, como trabalhar com controle de versão, no caso Git, e como desenvolver com testes (TDD – Test Driven Development).

Veremos as vantagens de utilizar um interpretador Python interativo em comparação com o interpretador padrão da linguagem. O IPython pode auxiliar nos estudos da linguagem e na produção de conteúdo associado a Python.

Conhecer expressões regulares, ou simplesmente regex, é muito útil, mas costuma ser um pouco assustador aos olhos de um iniciante. Neste artigo abordaremos o básico de regex utilizando Python

Você talvez já tenha passado pela seguinte situação: está escrevendo um trabalho ou fazendo uma pesquisa e encontra um figura que apresenta dados interessantes, mas está com baixa qualidade ou você gostaria de adicionar ou retirar elementos da figura. No entanto, os dados que deram origem não estão disponíveis. Como sair desta situação? É o que veremos no artigo de hoje.

Usain Bolt é considerado por muitos o melhor velocista de todos os tempos. Nesse artigo, veremos como podemos utilizar a linguagem Python para saber a velocidade e aceleração atingidas pelo jamaicano em provas. Aproveitaremos para discutir um pouco sobre modelos matemáticos e cuidados na seleção e interpretação de seus resultados.

Neste artigo iremos detalhar como obter gráficos visualmente elegantes e que apresentam corretamente unidades em seus eixos. Combinaremos as bibliotecas pint, numpy e matplotlib.

Sempre que trabalhamos com medidas e com dados experimentais, precisamos expressar nossos valores com as respectivas unidades. Neste artigo, veremos uma biblioteca Python para trabalhar com unidades e o que isso tem a ver com cerveja.

Nesse artigo veremos como a NASA já perdeu projetos de milhões de dólares por simples erros de conversão de unidades. Também veremos qual sistema de unidades que levou o homem à Lua no Programa Apollo analisando o código fonte do computador de bordo.

Como que um avião pode ficar sem combustível a 12 km de altitude? O artigo de hoje é sobre um Boeing que virou um “planador” de mais de 100 toneladas e como isso ocorreu por um simples erro de conversões de unidades.

Nesse artigo veremos como usar ambientes virtuais no gerenciamento de projetos Python. Veremos que é possível ter diferentes versões de Python, uma para cada projeto, e também como é feito o controle de pacotes e dependências.

Você já deve ter ouvido falar em data science ou machine learning. E, eventualmente, já ouviu falar ou teve contato com as linguagens R ou Python. O artigo de hoje é sobre o Anaconda, uma distribuição que visa facilitar a instalação e o gerenciamento de ferramentas dessas duas linguagens, visando especialmente aplicações na área científica.

SpeedCrunch é uma calculadora científica de alta precisão, com uma interface simples, mas altamente personalizável. Possui um grande acervo de constantes e funções. Gratuita e de código aberto.